Jacob Kærup var ein av dei mest dugande biskopane i Den norske kyrkja under den såkalla statspietismen på 1700-talet.
Kærup var elev ved latinskulen ved Vår Frue kyrkje i København, vart immatrikulert ved universitetet 1701 og tok bakkalaurusgraden to år seinare. Etter å ha vore huslærar ei tid var han elev ved Borchs kollegium 1706–07. 1707 forsvarte han ei teologisk avhandling om tienda hos hebrearane. Same året vart han amanuensis hos biskopen i København, og først 1711 tok han teologisk embetseksamen. Året etter vart han magister i filosofi.
Heile si prestegjerning fekk Kærup i Holmen kyrkje i København. Frå 1711 var han residerande kapellan, og etter 17 år vart han utnemnd til sokneprest og prost same stad. Då Kristiansand bispestol vart ledig 1733, vart Kærup utnemnt til embetet, men “uden min attraa og ansøgning”, som han sjølv sa.
Kærup er omtalt som ein av dei mest dugande og samvitsfulle biskopane i si samtid. Bispetida hans fall saman med statspietismen under kong Christian 6 (1730–46), som gjekk inn for å innføre pietistisk kristendom gjennom lovgjevinga. Kærup la vekt på å setje ut i livet dei reformer i kyrkje og skule som vart påbode ovanifrå. Eit hovudmål var å gjennomføre ei pietistisk kristendomsopplæring av folket, og det viktigaste middelet for å nå dette målet, var innføringa av den lutherske konfirmasjonen 1736. Kærup skreiv eit særleg hyrdingbrev til prestane i stiftet om saka, og minna dei på det ansvaret dei hadde for å førebu ungdommen til den første altargangen. Han fekk innført katekisasjonar i kyrkjene kvar sundag i sommarhalvåret og tok initiativ til å tilsetje særskilte kateketar som òg skulle vere lærarar for dei fattige.
Allmugeskulen var ein føresetnad for konfirmasjonen. Skulen skulle gi borna innføring i kristendomskunnskap før dei vart katekisert, eksaminert og konfirmert av presten. Fleire gonger kom biskop Kærup med fråsegner om allmugeskulane i stiftet, og han freista å gjere det han kunne for å dempe den folkelege uviljen mot skulelovene av 1739 og 1741. Han gjorde framlegg om å byggje skulehus i bygdene med klokkarane som lærarar, og dessutan måtte dei større bygdene ha omgangsskulelærarar. Fattigborn skulle ha gratis undervisning. Under motstand frå bøndene arbeidde Kærup for å få vedteke instruksar for bygdeskulane, og desse vart lesne opp frå preikestolen i kyrkjene. Biskopen tok seg òg av katedralskulen i Kristiansand, som opplevde vekst i elevtalet i hans tid, og han sikra fattigskulen i byen eit betre økonomisk grunnlag.
Dei 10 innhaldsrike kopibøkene som finst etter Kærup, vitnar om ein god kyrkjeleg administrator. Gjennom utførlege brev rettleidde han prestane i ulike religiøse og praktiske spørsmål. 1738 og 1740 sende han omfattande meldingar til kongen om den religiøse situasjonen i bispedømmet, som han teikna eit positivt bilete av. Han visiterte bispedømmet fire gonger. Når han kom på visitas, kravde han at den ugifte ungdommen og dei store borna skulle møte på kyrkjegolvet til overhøyring. Han var i det store og heile nøgd med arbeidet til prestane og meinte dei unge kunne svare godt for seg. Men han gjekk ikkje av vegen for å irettesetje kyrkjelydane for ulike laster, som til dømes alkoholmisbruk og nattefriing.
I Suldal sokn fekk biskopen ei særleg sak å ta seg av. Framleis var det pilegrimsferder til krusifikset i Røldal kyrkje, som folk meinte gav lækjedom for sjukdom. På ein visitas der 1735 kravde biskopen at røldølane berre skulle ha krusifikset til prydnad i kyrkja, og dersom dei nytta det til lækjing, ville han syte for at det vart teke ned. Men valfartinga heldt fram, og biskopen bad no prosten syte for at krusifikset vart teke ned og brend. Så har likevel ikkje skjedd, og valfartinga til krusifikset i Røldal heldt fram i løynd til inn på 1800-talet.
1721–23 skjedde salet av den jorda som låg til dei lokale kyrkjene og som førte til at kyrkjene i Noreg kom på private hender. På visitasane sine fann biskop Kærup at fleire kyrkjer i bispedømmet var dårleg vedlikehaldne, og då måtte han minne eigarane alvorleg om kva plikter dei hadde.
Frå 1745 gjorde dårleg helse at Kærup ikkje kom rundt på visitas lenger. Då sette han prostane til å visitere og heldt kontakten med prestane oppe gjennom ein omfattande korrespondanse. Han sat i embetet til 1751 då han døydde 69 år gammal.