Jurist og genealog. Foreldre: Lege Michael Skjelderup (1834–1902) og Sigrid Mørch (1841–1909). Gift 6.11.1905 med Christine Margrethe Aabel Munthe (18.4.1882–11.9.1957), datter av grosserer Christopher Pavels Munthe (1852–1913; bror av Margrethe Munthe, 1860–1931) og Karithe Berg (1857–1932). Sønnedatters sønn av Ole Clausen Mørch (1774–1829; se NBL1, bd. 9); dattersønns sønn av Michael Skjelderup (1769–1852).

Arthur Skjelderup tilhørte en gammel christianiaslekt og hadde en rekke slektsforbindelser, som han gjorde rede for i et omfattende genealogisk forfatterskap. Han var dessuten en fremtredende advokat og en av stifterne av Den Norske Advokatforening. Hans utmerkede bibliotek befinner seg i dag i Universitetsbiblioteket i Oslo.

Skjelderup var selv 7. generasjon christianiaborger. Faren, som var en kjent lege, het opprinnelig Clauson, men fikk lov å ta sin mors navn, et kjent embetsmannsnavn med lange linjer i norsk historie. Skjelderup interesserte seg selv sterkt for slektens historie og utgav en rekke genealogiske verker.

Skjelderup tok examen artium ved Aars og Voss' skole 1893. Han studerte jus og ble cand.jur. 1898. Deretter var han privatpraktiserende overrettssakfører i Kristiania, og fra 1904 var han høyesterettsadvokat. Skjelderup fikk stor betydning i hovedstaden, ikke minst som advokat for kommunen i perioden 1920–37. I denne stillingen hadde han blant annet ansvaret for å bestyre kommunens mange leiegårder, et oppdrag han utførte på en god måte for så vel gårdeier som beboere.

Som organisasjonsmenneske engasjerte Skjelderup seg i advokatenes organisasjoner og var 1908 en av stifterne av Den norske Sakførerforening (nå Den Norske Advokatforening). Han var generalsekretær i foreningen 1908–18 og utgav foreningens 10-årsberetning. Fra 1926 var han medlem av Sakførerforeningens hovedstyre og formann i dette 1930–34. På et møte i Bergen holdt han et inspirerende foredrag med tittelen Sakførerens stilling før, nu og fremtidig.

Skjelderups interesse for kunst, kultur, historie og slektshistorie gav seg mange utslag. Blant annet registrerte han portrettskulpturer på gravminner, og han samlet på bilder fra det gamle Christiania. Dessuten bygde han opp en fin antikvitetssamling og spesialiserte seg på gamle norske glass. På sitt landsted på Ringerike samlet han en mengde norske trær. Dessuten bygde han opp et usedvanlig godt bibliotek med en enestående samling av memorarer, biografi og topografi. Biblioteket ble 1957 gitt som gave til Universitetsbiblioteket i Oslo, hvor det stadig holdes samlet.

Skjelderups slektshistoriske interesser førte til at han skrev en rekke bøker og artikler om familier han selv var beslektet med. Han utgav verker som omhandlet slektene Clauson, Holfeldt, Holst, Meyer, Mørch, Osterhaus, Paludan, Parsons, Phelp og naturligvis Skjelderup. Et viktig verk fra hans hånd er boken Ingeborg Marie Barth Meyer, f. Muus, og hendes ascendenter, som utkom 1923. Dessuten skrev han en biografi om sin far og en rekke artikler i pressen om politiske og genealogiske spørsmål. Hans genealogiske arbeider er grundige og preget av stor innsikt.

1910–14 var Skjelderup formann i Christiania konservative forening og 1913 formann i Kristiania skolestyre. 1914 ble han valgt som representant for Høyre til bystyret, hvor han var medlem til 1928. I perioden 1913–15 var han vararepresentant til Stortinget, og han møtte også til forhandlinger. Imidlertid ønsket han ikke å fortsette som rikspolitiker.

Skjelderup var formann i Det norske Studentersamfund 1903 og var resten av sitt liv interessert i organisasjonen. Han var svært skuffet over Mot Dags maktovertakelse i Studentersamfundet i 1920- og 1930-årene og mente at organisasjonen kneblet annerledes tenkende.

  • Slægtshistoriske meddelelser om familierne Skjelderup og Clauson og om grene af familierne Holst, Holfeldt, Paludan, Osterhaus, Parsons og Phelp, 1915
  • Familien Clausson, i NTfG, bd. 3, 1926, s. 205–207
  • Den Norske Sagførerforening 1908–1918, 1918
  • Familien Mørch (fra Christianssand). Slægtshistoriske Meddelelser, 1918
  • Christianiafamilien Meyer. Slægtshistoriske meddelelser, 1920
  • Ingeborg Marie Barth Meyer, f. Muus, og hendes ascendenter. Slægtshistoriske meddelelser, 1923
  • Familien Clauson i Norge og i England. Optegnelser om en gammel Christiania-slægt, 1932
  • Sakførerens stilling før, nu og fremtidig. Foredrag holdt på fellesmøtet i Bergen 1926, 1933
  • Læge Michael Skjelderup 1834–1902. Mindeskrift udgivet paa Hundredeaarsdagen den 14de Januar 1934, 1934
  • Lindstøl, bd. 1, 1914
  • Stud. 1893, 1918, 1933 og 1948
  • HEH 1938
  • Finne-Grønn, bd. 3, 1940
  • W. Munthe: Arthur Skjelderup og hans bibliotek, 1944
  • E. Løchen: biografi i NBL1, bd. 13, 1958