Poul Heegaard var professor i matematikk (geometri) i Kristiania/Oslo fra 1918 til han gikk av for aldersgrensen 1941.
Heegaard vokste opp i København, tok studenteksamen 1889 og magistergrad i matematikk 1893 (om algebraiske kurver, veiledet av H. G. Zeuthen). Så fulgte et års utenlandsstudier, først i Paris, så i Göttingen, der den nesten eksplosjonsartede veksten av topologien (“Analysis Situs”) fanget ham inn.
Heegaard kom til topologien ved at studiet av algebraiske kurver og flater leder til geometriske problemer i fire og flere dimensjoner. Der svikter vår geometriske anskuelse, og vi må ty til mer formelle algebraiske og kombinatoriske metoder. De metodene han foreslo i sin doktoravhandling fra 1898, kalles nå Heegaard-diagrammer og Heegaard-dekomposisjon. Avhandlingen førte også til at Henri Poincaré, som var den store pioneren på området, måtte revidere noen av sine arbeider. Den gjorde Heegaard kjent internasjonalt, og han ble bedt om å skrive om Analysis Situs i Enzyclopädie der mathematischen Wissenschaften. Han søkte samarbeid med tyskeren Max Dehn, og artikkelen, som kom 1907, ble grunnleggende for den videre utviklingen av topologien.
Etter utenlandsreisen begynte Heegaard som matematikklærer ved diverse militære og sivile skoler, han giftet seg, og ble far til seks barn. Han skrev en bok Populær astronomi, som kom i mange opplag, og han startet en livslang virksomhet i folkeakademiene. Han trivdes med skolearbeidet, og det var noe motvillig han 1910 lot seg overtale til å søke stillingen som Zeuthens etterfølger ved universitetet. Men han fant seg ikke til rette i Københavns matematikermiljø, og selv om han beholdt noe skolearbeid, og en tid hadde en bistilling som aktuar, gikk han ned i lønn. Det endte med at han 1917 søkte avskjed for å gå tilbake til skolearbeidet.
Samme år var det i Kristiania opprettet et nytt professorat i geometri, og der fikk de ingen kvalifisert søker. Heegaard ble tilbudt stillingen og aksepterte på betingelse av at han fikk en lønn på nivå med hva han tjente som lærer i København.
I Norge ble Heegaard en inspirasjonskilde, ikke minst i kontakten mellom universitet, skole og allmenhet. Han reformerte geometriundervisningen og foreleste matematisk didaktikk. Han var med å stifte Norsk Matematisk Forening (1918), var dens formann 1929–34 og redigerte sammen med overlærer Anton Alexander dens tidsskrift fra det startet 1919. Han startet en skriftserie der yngre matematikere fikk presentert sine arbeider, og sammen med F. Engels redigerte han Sophus Lies verker. En liten bok Um trideling av vinkelen var nok inspirert av de mange amatørmatematikerne som mente de hadde løst klassiske konstruksjonsproblemer. Hans egen forskning kom det lite ut av, han prøvde seg på “firefargeproblemet”, og det var på den tiden altfor vanskelig.
Heegaard hadde mange interesser ut over sitt fag. Han holdt populærastronomiske foredrag landet rundt, skrev om astronomi i Morgenbladet og andre steder og utgav boken Stjerneverdenen. Han engasjerte seg i studentvelferd (ledet “Studentenes Dyrtidskomité” 1920–25), i kristelige studentaktiviteter, i personalhistorie og i psykisk forskning. Han var frimurer, var en tid sterkt opptatt av Oxford-bevegelsen og ble til slutt katolikk.