Johan Brun var utdannet lege og tannlege og kjempet for å få en helhetlig tannlegeundervisning på universitetsnivå. Han var også en drivkraft bak opprettelsen av offentlig skoletannpleie i Norge.
Brun ble født på Målselv prestegård. Senere flyttet familien til Kristiansand der faren ble stiftsprost, og Johan tok examen artium ved Kristiansands katedralskole 1884. Han tok medisinsk embetseksamen 1892 og ble året etter førstelærer ved den nyopprettede Statens Poliklinik for tandsygdommer. Selv tok han tannlegeksamen først i 1897 og fortsatte som lærer til 1898. Parallelt med lærergjerningen praktiserte han som tannlege i Kristiania og var fra 1906 kongefamiliens tannlege. 1903–04 var han i studieøyemed i USA, og han var sensor ved tannlegeeksamen 1908 og 1909.
Johan Bruns viktigste bidrag til norsk odontologi var hans engasjement for tannlegeundervisningen. Den norske tannlegeforening (NTF) hadde allerede ved stiftelsen 1884 satt undervisningsspørsmålet på dagsordenen og gjennom mange år arbeidet for å få etablert et helhetlig undervisningstilbud knyttet til universitetet. Johan Brun kom med i en komité nedsatt av departementet, som 1895 foreslo krav om artium, to års læretid før opptak ved Statens Poliklinik og to semesters undervisning ved klinikken. Først 1904 ble det vedtatt et nytt eksamensreglement, som skulle tre i kraft våren 1908. Tannlegeforeningen oppnevnte i april 1904 en komité, der Brun selvsagt var med, som skulle vurdere hva man kunne gjøre i "ventetiden". Resultatet ble NTF Tekniske Tandlægeinstitut (1905), som sammen med Statens Poliklinik skulle bidra til en fullverdig tannlegeutdanning. Stortinget vedtok 13. mars 1909 å opprette Statens Tandlægeinstitut fra 1. juli samme år. De fleste var tilfredse med vedtaket, men Johan Brun kunne ikke forsone seg med at universitetet ikke ville ta i mot tannlegeutdanningen og rykket ut med skarp kritikk av universitetet. Dette førte til at Tannlegeforeningen måtte skrive til Stortinget og gi uttrykk for at man var tilfreds med at det skulle opprettes et selvstendig institutt.
På bakgrunn av tannlegemangelen oppnevnte departementet 1922 en komité hvor Brun igjen var med. Komiteen foreslo fortsatt treårig utdanning, visse endringer i studieplanen, økning av studentopptaket fra 30 til 40–50 per år og navnebytte til Norges Tandlægehøiskole. Stortinget vedtok i mai 1924 endringene i studieplanen, men ikke økt opptak, som forutsatte nybygg.
Det var mange av studentene i utlandet som gjerne ville komme hjem, og den såkalte parallellundervisningen startet høsten 1924 i leide lokaler. Samtidig begynte man å planlegge et permanent bygg som kunne dekke både ordinær og ekstraordinær undervisning. Finansieringen ble ordnet ved lån og opprettelsen av Tannlegeundervisningens fond. Fondets inntekter var Statens husleie og inntekter fra pasientbehandlingen. Staten aksepterte planene og oppnevnte en byggekomité, der Johan Brun var et selvsagt medlem. 27. mai 1927 stod bygget i Geitmyrsveien 69 ferdig til innvielse.
Johan Bruns andre viktige bidrag til norsk tannhelsetjeneste var arbeidet for å opprette skoletannpleie i Norge. Allerede 1894 foreslo han overfor skolestyret i Kristiania at han skulle undersøke og behandle barn ved en folkeskole mot at det ble bevilget 700 kr til innkjøp av utstyr og materialer, men skolestyret avslo bevilgningen. 1900 overlot foreningen ansvaret for fremdrift i saken til Brun, som 1902 kunne presentere de foreløpige resultater fra undersøkelse av 7596 barn; dette var opptakten til etablering av skoletannpleien. 1924, mange år senere, ble han bestyrer av Oslo kommunale skoletannklinikker; en stilling han hadde til 1932.
Johan Brun var formann i NTF 1896–97, redaktør av NTFs tidende 1894–98, bibliotekar i foreningen 1904–26 og redaktør av bladet Munnpleien 1923–33. I perioden 1918–21 forlot han hovedstaden og drev fjellgården Lunda i Numedal.
Johan Brun ble utnevnt til ridder av 1. klasse av St. Olavs Orden. Han var æresmedlem både av den norske, danske og svenske tannlegeforeningen, Fellow of International College of Dentists og æresmedlem av Federation Dentaire Internationale's hygienekomité.