Matematiker. Foreldre: Bokhandler, forlegger og tidsskriftredaktør, senere sogneprest Carl August Guldberg (1812–92) og Hanna Sophie Theresia Bull (1810–54). Gift 10.9.1864 med Kathinka Fredrikke Marie Borchsenius (15.1.1834–17.1.1885), datter av zahlkasserer Rasmus Rafn Borchsenius (1802–85) og Marie Margrethe Aimée Josephine Malthe. Far til Alf Victor Emanuel Guldberg (1866–1936; se NBL1,bd. 5); bror av Cato Maximilian Guldberg (1836–1902), Cathinka Augusta Guldberg (1840–1919), Hans Riddervold Guldberg (1843–96; se NBL1,bd. 5), Carl Johan Guldberg (1846–1906; se sst.), Fredrik Oscar Guldberg (1848–1905; se sst.) og Gustav Adolph Guldberg (1854–1908); halvbror av Ansgar Guldberg (1868–1924).

Axel Guldberg var lærer i matematikk på Krigsskolen, og han skrev lærebøker og populærartikler om matematikk og naturfag. Men sin viktigste innsats gjorde han som forsikringsteknisk sakkyndig ved utbyggingen av norsk forsikringsvesen i siste tredel av 1800-tallet.

Guldberg var nest eldst av 11 søsken. Søsknene fikk sin første undervisning i hjemmet, senere gikk Axel og hans eldre bror Cato på skole i Fredrikstad, der de bodde hos slektninger. Axel tok examen artium 1856, ble cand.real. 1863 og dr.philos. 1867. Han var adjunkt i Drammen 1863, studerte matematikk i Tyskland og Frankrike 1864–65 (det var samtidig bryllupsreise), ble overlærer i Stavanger 1865 og var lærer ved Krigsskolen 1867–99. Sine siste år levde han som pensjonist og gårdbruker på Nordre Skøyen gård i Aker.

Det var nok broren Catos eksempel og professor Ole Jacob Brochs undervisning som ledet Axel Guldberg til realstudiet og matematikken. Doktoravhandlingen – den første ved universitetet på 20 år – og noen andre artikler han skrev om ligningsteori, vitner om dyktighet og flid, men var faglig sett et blindspor. Et mer fruktbart arbeidsfelt fant han 1873, da lovene for Den Norske Livrenteforening måtte revideres. Han la et rasjonelt forsikringsteknisk grunnlag for virksomheten, ble valgt inn i foreningens direksjon, og var fra da av landets vel mest brukte forsikringsteknisk sakkyndige. Han satt i styret for Den Norske Enkekasse fra 1874 til 1912, han var en av fire initiativtakere da livsforsikringsselskapet Brage ble opprettet 1887–88, og han var medlem av styret der til sin død. Også i Realbanken var han medstifter og livsvarig styremedlem.

Da Livrenteforeningen 1897 ville gå over til også å drive livsforsikring, fikk Guldberg og juristen Oscar Platou i oppdrag å utarbeide nye vedtekter, derav oppstod 1901 Norske Liv. Men han kunne ikke sitte i styret både der og i Brage, så i Norske Liv ble han etterfulgt av sønnen Alf, som senere ble professor i matematikk, etablerte en tidsmessig undervisning i forsikringsmatematikk ved universitetet og overtok mye av farens rolle i forsikringsverdenen.

Guldberg hadde mange offentlige oppdrag, bl.a. i en tilsynskomité for private forsørgelses- og understøttelseskasser, og i et par utvalg som forberedte lovforslag om bank- og forsikringsvesenet. Hans viktigste skriftlige bidrag til forsikringsmatematikken finnes bortgjemt i en beretning han skrev 1882 for Kirkedepartementet om status for Det geistlige Enkepensjonsfond. Hans fremstilling der av den matematiske teorien som var brukt, ble grunnlaget for en ny lov (1890) om slike pensjoner.

Guldberg var også bestyrer av Den kgl. Tegneskole i Christiania fra 1874 til 1884, og deltok i omorganiseringen av denne til Kunst- og Håndverksskolen. Han var medlem av Videnskabsselskabet i Kristiania (nå Det Norske Videnskaps-Akademi) og Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab, og 1900 ble han utnevnt til ridder av 1. klasse av St. Olavs Orden. Han var formann i Den norske Aktuarforening fra den ble stiftet 1904 til 1912.

Axel Guldberg var en vennesæl og familiekjær mann, som sine brødre sterkt interessert i friluftsliv, jakt og fiske.

  • De omvendte Funktioner anvendte paa Theorien for algebraiske Ligninger, dr.avh., 1867
  • Regningsarterne og deres anvendelse. Nærmest udarbeidet for lærerne ved vore borger- og almueskoler, 1868
  • Kortfattet Regnelære med Spørgsmaal og Opgaver til Øvelse. Til Brug ved Undervisningen i Regning, 1869
  • Betænkning afgiven i Anledning af Spørgsmaalet om den norske Livrenteforenings Omorganisation, sm.m. P. Rogge, 1873
  • Om sandsynlighedsregningen og dens anvendelse paa hazardspil og forsikringsvæsen, tilleggshefte til Folkevennen,1873
  • Determinanternes teori, 1876
  • Kortfattet lærebog i algebraisk analyse for realgymnasier, militære og tekniske skoler, 1879
  • Populære naturvidenskabelige Afhandlinger, København 1882
  • Beretning om opgjør af Det geistlige enkepensionsfonds status den 1. juli 1881, 1883
  • Stud. 1856,1906
  • nekrolog i Forsikringstidende,16.3.1913
  • F. Lange-Nielsen: biografi i NBL1,bd. 5, 1931