Axel Drolsum var en av de betydeligste bibliotekarer vårt land har fostret; han etterlot seg et verdig monument i Universitetsbiblioteket (nå Nasjonalbiblioteket) på Drammensveien, som han fikk reist 1913. I litteraturen om unionsstriden fremstår han dessuten som en varm talsmann for et sterkt forsvar og som en begavet folketaler og publisist. Han ville fortelle Europa at når Norge ønsket å være en suveren stat, var det ikke en provins som ville gjøre opprør, men et gammelt kongerike som krevde sin rett. Beklageligvis har denne innsatsen kommet til å skygge for hans innsats som bibliotekar.
Faren var en rekke år underoffiser i Det Norske Jægerkorps, og sønnen ønsket å utdanne seg til offiser, men ble hindret av nærsynthet. Han engasjerte seg sterkt i sin skolegang og tenkte opprinnelig på et juridisk studium etter at han tok examen artium 1864.
Etter en utmerket anneneksamen ble imidlertid Drolsums interesse for oldnorsk vekket, og i fire år arbeidet han for Kildeskriftfondet, hvor han bl.a. deltok i utgivelsen av flere gammelnorske håndskrifter. Gjennom dette arbeid kom han i kontakt med daværende universitetsstipendiat Ludvig Daae som tilbød ham en amanuensisstilling ved Universitetsbiblioteket, som den gang holdt til i universitetsbygningene i Karl Johans gate. 1872 ble han annen-amanuensis og 1876, bare 29 år gammel, ble han universitetsbibliotekar, en tittel som senere ble endret til overbibliotekar.
Biblioteket stod overfor enorme utfordringer både når det gjaldt lokaler, personale, publikumsservice, oppbygging av kataloger og ikke minst arbeidet med pliktavlevering av alle norske trykk til Universitetsbiblioteket. 1880 utgav Drolsum programerklæringen Om Universitets-Bibliotheket. Forslag til en Omordning af Personalet m.v., som bidrog til å konkretisere behovet for reformer.
Drolsums 52-årige innsats for biblioteket satte varige spor. Han fikk myndighetene med på en ny Lov om Afgivelse af Tryksager til Bibliotheket (1882) og etablerte bibliotekets Norske Avdeling 1883. Bibliotekslokalene på universitetet var, til tross for de betydelige endringer han fikk gjennomført, meget utilfredsstillende, og det lyktes ham å få reist en ny bygning på Drammensveien 1913. Han omtalte den selv som “Verdens mest praktiske og mest økonomisk indrettede Bygning i sit Slags”. Som overbibliotekar bidrog han sterkt til å omdanne Universitetsbiblioteket fra å være et håndbibliotek for universitetslærere til å bli et moderne nasjonalbibliotek.
Drolsums interesser gikk imidlertid ut over det rent yrkesmessige. Som en markert forsvarsvenn engasjerte han seg sterkt i arbeidet for Norges Forsvarsforening, hvor han nedla et betydelig arbeid i Kristiania krets som formann i arbeidskomiteen fra 1889 til 1915. Han var en høyt skattet taler som holdt foredrag over hele landet, men han ble enda bedre kjent som forfatter av en rekke avisartikler, brosjyrer og pamfletter om forsvarspørsmål. En del av dem ble samlet i boken For Norges Sag. Ti Aars Arbeide i Afhandlinger og Foredrag. Her finnes bl.a. hans artikkel i Morgenbladet 1903, Skal Norge bære Skylden for Ufreden i Norden?, som ble et vektig innlegg i den unionspolitiske debatt. 1905 forfattet han en brosjyre med tittelen Kongeriget Norge som suveræn Stat, som ble oversatt til engelsk, tysk og fransk og nådde store opplag. Hans artikler var utvilsomt betydelige bidrag til den norske informasjon og propaganda ved unionsoppløsningen og understreker at han nok var en større agitatorisk begavelse enn en konstruktiv politiker.
Hans sterke engasjement og faglige dyktighet kom til sin rett i flere av de offentlige komiteer hvor han ble oppnevnt som medlem, ikke minst i Hærordningskomitéen av 1908. Sammen med Ludvig Daae redigerte han den norske utgave av Ernst Wallis' Illustreret Verdenshistorie, som utkom med 6 bind 1876–80.
Også i den mer private sfære lot han seg engasjere, bl.a. var han en av stifterne av Fjærkreforeningen og av Havedyrkningens Venner. Han var også med og stiftet Selskabet til Eidsvoldsbygningens Utstyr og var selskapets formann i en årrekke. I 1889 ble han medlem av Den Norske Frimurerorden og var til sin død et aktivt medlem av Logedirektoriet.
1887 ble han ridder av St. Olavs Orden, 1897 kommandør av den samme orden og 1903 kommandør av Nordstjärneorden. På Forsvarsforeningens 25-årsdag 1911 ble han tildelt Kongens fortjenstmedalje i gull.