Abraham Odfjell startet sammen med broren Fredrik rederivirksomhet i Bergen 1914. Deres etterkommere har drevet familiebedriften frem til å bli en av de store aktørene i internasjonal kjemikalietransport. Odfjell var også ivrig filatelist med stor internasjonal anseelse.
Odfjell – eller Abraham Olsen, som han opprinnelig het – vokste opp i et typisk sjømannshjem som nest eldst i en søskenflokk på fem. Faren, som opprinnelig kom fra Loshavn ved Farsund, ble skipperborger i Bergen 1877, men to år senere flyttet familien til Stavanger. 1891 flyttet de tilbake til Bergen. Faren ønsket å satse på dampskip, og Bergen var på denne tiden landets ledende dampskipsby.
Abraham Odfjell fikk sin første hyre 1897 om bord på D/S Løvstakken, som faren førte. Året etter tok han styrmannseksamen i Bergen og skipsførereksamen samme sted 1901. Han seilte i utenriksfart med en rekke dampskip inntil han fikk skippersertifikat 1906.
Fra 1902 deltok Odfjells far i fart på Mexicogolfen, både som kaptein og partreder. Senere fulgte Fredrik og Abraham Odfjell farens eksempel. Abraham Odfjell kjøpte 1905 en part i D/S City of Mexico av Bergen. Det var blant de mest moderne og best utstyrte skip bygd så langt i Norge. Faren ble kaptein på det nye skipet og sønnen styrmann. 1907 ble Abraham Odfjell kaptein på D/S Nor i Golf-farten. De tre kapteinene Odfjell var sentrale i det omfattende bergenske engasjementet i denne farten tidlig på 1900-tallet.
Faren hadde før sin død eid parter i flere skip, og det må ha virket fristende for de to brødrene Odfjell å følge eksempelet til mange andre skippere på den tiden – å danne sitt eget rederi. Muligens var de to brødrene blitt enige om sammen å starte rederivirksomhet. Juni 1914 forlot i hvert fall Abraham sjøen og returnerte til Bergen. Kort tid etter hjemkomsten undertegnet han kjøpskontrakt for to dampskip fra et rederi i Drammen. Leveringen ble utsatt som følge av krigsutbruddet, og bare ett av skipene, D/S Helga, havnet i Bergen. 17. november ble rederiet A/S D/S Birk registrert med Abraham som disponerende reder og største aksjeinnehaver. Odfjell-familien hadde bortimot halvparten av aksjene i selskapet; Abrahams ett år gamle sønn, Johan Odvar Odfjell, var notert med 5 av de i alt 76 aksjene. Året etter ble rederiets skip omdøpt til Birk. De to neste skipene Abraham anskaffet, ble døpt Furu og Rogn, og navngiving etter treslag ble en varig Odfjell-tradisjon. Oktober 1916 ble Birk senket av en østerriksk ubåt etter at mannskapet hadde fått forlate skipet.
Etter Fredrik Odfjells hjemkomst ble A/S Rederiet Odfjell registrert 1915 med Fredrik og Abraham Odfjell som disponenter. Under krigen var brødrene aktive med kjøp og salg av skip og nybyggingskontrakter. Etter 1916 overtok de en del skip ved at rederiet gikk inn som disponent i selskaper der aksjonærene hadde kastet de opprinnelige disponentene. De to brødrene deltok også i mange andres spekulasjonsforretninger. Tapene var betydelige, men ble mer enn oppveid av gevinstene. Foruten de rene skipsaksjeselskapene som Fredrik og Abraham Odfjell startet, var assuranse- og meglerforretningen A/S Odfjell blant de mest vellykkede tiltakene i jobbetiden med lang levetid. Selskapet ble fusjonert med Oljetransport A/S 1994.
Odfjell-brødrene klarte seg bedre enn de fleste andre bergensrederne i de vanskelige mellomkrigsårene. Rederiet ekspanderte utover i 1930-årene med anskaffelse av både nybygg og annenhånds tonnasje. Odfjell satset i denne perioden på linje- og trampfart på lange befraktningskontrakter. Rederiet mislyktes med sitt første forsøk på tankfart med det ombygde lasteskipet D/T Vaarli 1926, men mot slutten av 1930-årene begynte de igjen å investere i tankskip, da i såkalte babytankere beregnet for fart med bl.a. sildolje.
Brødrene samarbeidet godt og ble regnet som dyktige og pålitelige redere som disponerte forsiktig. Mens Fredrik påtok seg mange tillitsverv innen lokalpolitikken og i skipsfartsnæringens organisasjoner – lokalt, nasjonalt og internasjonalt – konsentrerte Abraham seg i stor grad om rederiets daglige drift. Mot slutten av mellomkrigstiden trådte neste generasjon Odfjell inn i ledelsen: Fredriks sønn Bernt Daniel Odfjell (1913–) og Abrahams sønn Johan Odvar Odfjell (1913–90). Med den nye generasjonen skjedde det etter den annen verdenskrig også en sterkere satsing på tankfart med oljeprodukter og kjemikalier.
Odfjell var formann i styret for The Steamship Owners Cooperation Association 1923–45. Han var styremedlem i Bergens Rederiforening 1936–39 og varamann til hovedstyret i Norges Rederforbund 1934–47. Han var honorær konsul for Mexico i Norge 1923–31.
Abraham Odfjell fattet tidlig interesse for filateli. 1917 kjøpte han to premierte norgessamlinger fra samlere i USA og begynte å spesialisere seg på norske frimerker. Etter hvert bygde han også opp flere spesialsamlinger med utenlandske frimerker. Han var med på mange internasjonale utstillinger både som deltaker og dommer, og ved flere anledninger ble hans egne samlinger premiert. Odfjells andre store spesialsamling, Mexico, utviklet seg etter hvert til å bli hans hovedsamling, og 1929 solgte han norgessamlingen.
Odfjell var medlem av de fleste skandinaviske filatelistklubbene og æresmedlem av flere. Han var dessuten æresmedlem av Scandinavian Collectors Club i New York og av The Royal Philatelic Society i London. 1951 ble han tatt opp i den britiske Roll of Distinguished Philatelists. Han publiserte både artikler og lengre avhandlinger om frimerker. 1930 publiserte han sammen med J. Jellestad en artikkel om Norges første frimerke. Hans studier om meksikanske frimerker fra 1800-tallet var spesielt omfattende; 1956 publiserte han avhandlingen The Postal Districts of Mexico og fire år senere The Stamps of the Postal Districts of Mexico. 1950 donerte Odfjell sin store filatelistiske boksamling til Bergens Filatelist-Klub. På samme tid solgte han Mexico-samlingen.
Abraham Odfjell hadde et sterkt kristelig engasjement. 1925–39 var han medlem av hovedstyret i Den norske sjømannsmisjon, og sammen med brødrene Fredrik og Andreas hadde han en vesentlig del av æren for at Fana kommune 1930 kunne innvie et nytt kirkebygg på Storetveit. Brødrene bidrog med om lag halvdelen av byggekostnadene til kirken.